Finite Mathematik Beispiele

$2 | 2 x - 5 | + 2 > 8$

Schritt 1

Schreibe $2 | 2 x - 5 | + 2 > 8$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$2 x - 5 \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.2.1

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x \geq 5$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{5}{2}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{5}{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{5}{2}$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $2 x - 5$ nicht negativ ist.

$2 (2 x - 5) + 2 > 8$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$2 x - 5 < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.5.1

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x < 5$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x < 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x < 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{5}{2}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} < \frac{5}{2}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{5}{2}$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $2 x - 5$ negativ ist.

$2 (- (2 x - 5)) + 2 > 8$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} 2 (2 x - 5) + 2 > 8 & x \geq \frac{5}{2} \\ 2 (- (2 x - 5)) + 2 > 8 & x < \frac{5}{2} \end{cases}$

Schritt 1.8

Vereinfache $2 (2 x - 5) + 2 > 8$ .

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Schritt 1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} 2 (2 x) + 2 \cdot - 5 + 2 > 8 & x \geq \frac{5}{2} \\ 2 (- (2 x - 5)) + 2 > 8 & x < \frac{5}{2} \end{cases}$

Schritt 1.8.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${\begin{cases} 4 x + 2 \cdot - 5 + 2 > 8 & x \geq \frac{5}{2} \\ 2 (- (2 x - 5)) + 2 > 8 & x < \frac{5}{2} \end{cases}$

Schritt 1.8.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

${\begin{cases} 4 x - 10 + 2 > 8 & x \geq \frac{5}{2} \\ 2 (- (2 x - 5)) + 2 > 8 & x < \frac{5}{2} \end{cases}$

Schritt 1.8.2

Addiere $- 10$ und $2$ .

${\begin{cases} 4 x - 8 > 8 & x \geq \frac{5}{2} \\ 2 (- (2 x - 5)) + 2 > 8 & x < \frac{5}{2} \end{cases}$

Schritt 1.9

Vereinfache $2 (- (2 x - 5)) + 2 > 8$ .

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Schritt 1.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} 4 x - 8 > 8 & x \geq \frac{5}{2} \\ 2 (- (2 x) - - 5) + 2 > 8 & x < \frac{5}{2} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} 4 x - 8 > 8 & x \geq \frac{5}{2} \\ 2 (- 2 x - - 5) + 2 > 8 & x < \frac{5}{2} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

${\begin{cases} 4 x - 8 > 8 & x \geq \frac{5}{2} \\ 2 (- 2 x + 5) + 2 > 8 & x < \frac{5}{2} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} 4 x - 8 > 8 & x \geq \frac{5}{2} \\ 2 (- 2 x) + 2 \cdot 5 + 2 > 8 & x < \frac{5}{2} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

${\begin{cases} 4 x - 8 > 8 & x \geq \frac{5}{2} \\ - 4 x + 2 \cdot 5 + 2 > 8 & x < \frac{5}{2} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

${\begin{cases} 4 x - 8 > 8 & x \geq \frac{5}{2} \\ - 4 x + 10 + 2 > 8 & x < \frac{5}{2} \end{cases}$

Schritt 1.9.2

Addiere $10$ und $2$ .

${\begin{cases} 4 x - 8 > 8 & x \geq \frac{5}{2} \\ - 4 x + 12 > 8 & x < \frac{5}{2} \end{cases}$

Schritt 2

Löse $4 x - 8 > 8$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1

Addiere $8$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x > 8 + 8$

Schritt 2.1.2

Addiere $8$ und $8$ .

$4 x > 16$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x > 16$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x > 16$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} > \frac{16}{4}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} > \frac{16}{4}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{16}{4}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $16$ durch $4$ .

$x > 4$

Schritt 3

Löse $- 4 x + 12 > 8$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 4 x > 8 - 12$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $12$ von $8$ .

$- 4 x > - 4$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x > - 4$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Term in $- 4 x > - 4$ durch $- 4$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 4 x}{- 4} < \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} < \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{- 4}{- 4}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 4$ .

$x < 1$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < 1$ oder $x > 4$

Schritt 5

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, 1) \cup (4, \infty)$

Schritt 6